题目

已知椭圆 的长轴长为6，且椭圆 与圆 的公共弦长为 ． （1） 求椭圆 的方程； （2） 过点P（0，1）作斜率为 的直线 与椭圆 交于两点 ， ，试判断在 轴上是否存在点 ，使得 为以 为底边的等腰三角形，若存在，求出点 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案： 解：由题意可得 2a=6 ，所以 a=3 ． 由椭圆 C 与圆 M ： (x−2)2+y2=409 的公共弦长为 4103 ，恰为圆 M 的直径， 可得椭圆 C 经过点 (2,±2103) ，所以 49+409b2=1 ，解得 b2=8 ． 所以椭圆 C 的方程为 x29+y28=1 解：直线 l 的解析式为 y=kx+1 ，设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， AB 的中点为 E(x0,y0) ．假设存在点 D(m,0) ，使得 △ADB 为以 AB 为底边的等腰三角形，则 DE⊥AB ．由 {y=kx+1x29+y28=1  得 (8+9k2)x2+18kx−63=0 ， 故 ∴x1+x2=−18k8+9k2 ，所以 x0=−9k8+9k2 ， y0=kx0+1=88+9k2 ． 因为 DE⊥AB ，所以 kDE=−1k ，即 88+9k2−0−9k8+9k2−m=−1k ， 所以 m=−k8+9k2=−19k+8k ． 当 k>0 时， 9k+8k≥29×8=122 ，所以 −224≤m<0 ． 综上所述， x 轴上存在满足题目条件的点 D ，且点 D 的横坐标的取值范围为 −224≤m<0 ．

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