题目

已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形 （1） 求证：△DFB是等腰三角形； （2） 若DA= AF，求证：CF⊥AB． 答案： 解：∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=90°，∵△AEF为等边三角形，∴∠CAB=∠EFA=60°，∴∠B=30°，∵∠EFA=∠B+∠FDB，∴∠B=∠FDB=30°，∴△DFB是等腰三角形； 解：过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a， ∵△AEF是等边三角形，∴FM=EN=a，AM= 3 a，在Rt△DAM中，AD= 7 AF=2 7 a，AM= 3 a，∴DM=5a，∴DF=BF=6a，∴AB=AF+BF=8a，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，∵AE=EF=AF=CE=2a，∴∠ECF=∠EFC，∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，∴CF⊥AB．

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