题目

已知函数f（x）=cosx•sin（x+ ）﹣ cos2x+ ，x∈R． （1） 求f（x）的最小正周期； （2） 求f（x）在闭区间[﹣ ， ]上的最大值和最小值． 答案： 解：由题意得，f（x）=cosx•（ 12 sinx+ 32 cosx） −3cos2x+34 = 12sinx⋅cosx−32cos2x+34 = 14sin2x−34(1+cos2x)+34 = 14sin2x−34cos2x = 12sin(2x−π3) 所以，f（x）的最小正周期 T=2π2 =π． 解：由（1）得f（x）= 12sin(2x−π3) ， 由x∈[﹣ π4 ， π4 ]得，2x∈[﹣ π2 ， π2 ]，则 2x−π3 ∈[ −5π6 ， π6 ]，∴当 2x−π3 =﹣ π2 时，即 sin(2x−π3) =﹣1时，函数f（x）取到最小值是： −12 ，当 2x−π3 = π6 时，即 sin(2x−π3) = 12 时，f（x）取到最大值是： 14 ，所以，所求的最大值为 14 ，最小值为- 12

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