题目

如图，已知四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 分别为 的中点. （1） 求证: ; （2） 求证: 平面 . 答案： 证明：连 AC ， ∵∠ABC=60∘ ，底面 ABCD 为菱形， ∴△ABC 是等边三角形， ∵BE=EC ， ∴AE⊥BC ， 又 BC//AD ， ∴AE⊥AD ， 又 PA⊥ 面 ABCD,AE⊂ 面 ABCD ， ∴PA⊥AE ， PA∩AD=A ， ∴AE⊥ 面 PAD,PD⊂ 面 PAD ， ∴AE⊥PD . 取 PD 的中点 M ，连 FM,MC ， ∵PF=FA ， 所以 FM//12AD,FM=12AD ， 又 EC//12AD,EC=12AD ， ∴FM//EC,FM=EC ， ∴ 四边形 FECM 是平行四边形， ∴EF//MC ， 又 EF⊄ 面 PCD,MC⊂ 面 PCD ， ∴EF// 面 PCD .

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