题目

已知双曲线 的方程为 ，离心率 ,顶点到渐近线的距离为 （1） 求双曲线 的方程; （2） 设 是双曲线 上 点， , 两点在双曲线 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 ，求 面积的取值范围. 答案： 解：由双曲线方程可知其渐近线方程为 y=±abx ，顶点坐标 (0,±a) ∴ 顶点到渐近线距离 d=|ab|a2+b2=abc=255 由 {abc=255e=ca=52c2=a2+b2 得： {a=2b=1c=5     ∴ 双曲线 C 的方程为： y24−x2=1 解：由（1）知：双曲线渐近线方程为 y=±2x 设 P(x0,y0) ， A(x1,2x1) ， B(x2,−2x2) ，其中 x1>0 ， x2<0 则 AP→=(x0−x1,y0−2x1) ， PB→=(x2−x0,−2x2−y0) 由 AP→=λPB→ 得： {x0−x1=λ(x2−x0)y0−2x1=λ(−2x2−y0)     ∴{x0=x1+λx21+λy0=2x1−2λx21+λ ∴4(x1−λx2)24(1+λ)2−(x1+λx2)2(1+λ)2=1 ，整理可得： x1x2=−(1+λ)24λ 设 ∠AOB=2θ ∵tan(π2−θ)=2 ∴tanθ=1tan(π2−θ)=1cotθ=12 ∴sinθ=55 ， cosθ=255     ∴sin2θ=2sinθcosθ=45 又 |OA|=x12+y12=x12+4x12=5x1 ， |OB|=x22+y22=x22+4x22=−5x2 ∴SΔAOB=12|OA||OB|sin2θ=−52x1x2×45=−2x1x2=(1+λ)22λ=12(λ+1λ+2) 当 λ∈[13,2] 时， y=λ+1λ 在 [13,1] 上单调递减，在 [1,2] 上单调递增 ∴(λ+1λ)min=2 ， (λ+1λ)max=13+3=103     ∴2≤SΔAOB≤83 即 ΔAOB 面积的取值范围为 [2,83]

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