题目

在1，2，3，4，5，6，7这7个自然数中，任取3个数. （Ⅰ）求①这3个数中恰有1个是偶数的概率， ②这3个数中至少有一个为偶数的概率； （Ⅱ）设 为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时 的值是2）.求随机变量 的分布列及其数学期望 . 答案：解：（Ⅰ） 由题意知本题是一个等可能事件的概率， ∵ 试验发生包含的事件是从7个数字中任取3个，共有 C73=35 种结果， 则恰有1个是偶数有 C31C42 种结果，至少有一个是偶数有 C73−C43 种结果， 记“这3个数恰有一个是偶数”为事件 A ，则 P(A)=C31C42C73=1835 ； 记“这3个数恰有一个是偶数”为事件 B ，则 P(B)=1−C43C73=3135 ， 即3个数中至少有1个是偶数的概率是 3135 ． （Ⅱ）随机变量 ξ 为这三个数中两数相邻的组数，从7个数字中任取3个，共有 C73 种结果， 有可能相邻的：123，124，125，126，127，234，235，236，237，345，346，347，456，457，567．共15个 则不包含相邻的数的有 35−15=20 ∵ 则 ξ 的取值为0，1，2， 当变量为0时表示不包含相邻的数 P(ξ=0)=2035=47 ， 当变量为1时表示包含1组相邻的数 P(ξ=1)=1035=27 ， 当变量为2时表示包含2组相邻的数 P(ξ=2)=535=17 随机变量 ξ 的分布列：   ξ  0  1  2  P   47   27   17 其数学期望 Eξ=0×47+1×27+2×17=47

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