题目

如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F. （1） 求证：AC是⊙O的切线； （2） 若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积； （3） 在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长. 答案： 证明：作OH⊥AC于H，如图， ∵AB＝AC，AO⊥BC于点O， ∴AO平分∠BAC， ∵OE⊥AB，OH⊥AC， ∴OH＝OE， ∴AC是⊙O的切线 解：∵点F是AO的中点， ∴AO＝2OF＝6， 而OE＝3， ∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°， ∴AE＝ 3 OE＝3 3 ， ∴图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF＝ 12 ×3×3 3 ﹣ 60×π×32360=93−3π2 解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图， ∵PF＝PF′， ∴PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此时EP+FP最小， ∵OF′＝OF＝OE， ∴∠F′＝∠OEF′， 而∠AOE＝∠F′+∠OEF′＝60°， ∴∠F′＝30°， ∴∠F′＝∠EAF′， ∴EF′＝EA＝3 3 ， 即PE+PF最小值为3 3 ， 在Rt△OPF′中，OP＝ 33 OF′＝ 3 ， 在Rt△ABO中，OB＝ 33 OA＝ 33 ×6＝2 3 ， ∴BP＝2 3 ﹣ 3 ＝ 3 ， 即当PE+PF取最小值时，BP的长为 3 .

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