题目

如图，在四棱锥 中， ， ， ，平面 平面 ， . （1） 求证： 平面 ； （2） 求平面 与平面 夹角的余弦值， 答案： 解： ∵AB=2AD=2 ， ∠BAD=60° ， ∴BD=3 . ∴AB2=AD2+BD2 ，根据勾股定理可知 BD⊥AD . 又 ∵ 平面 PAD⊥ 面 ABCD ，且平面 PAD∩​ 平面 ABCD=AD ， ∴BD⊥ 平面 PAD . ∴BD⊥PA . 又 ∵PA⊥AB ， ∴PA⊥ 平面 ABCD . 解：以 A 坐标原点，分别以 AB   AP 在的直线为 x 、 z 轴，在底面 ABCD 内点过点 A 作 AB 垂线为 y 轴建立空间直角坐标系. 则 P(0,0,1) ， B(2,0,0) ， C(32,32,0) ， D(12,32,0) 所以 PC⇀=(32,32,−1) ， PB⇀=(2,0,−1) ， PD⇀=(12,32,−1) 设平面 PBC 法向量为 n1⇀=(x1,y1,z1) ， 则 {n1⇀·PC⇀=32x1+32y1−z1=0n1⇀·PB⇀=2x1−z1=0  ， 取 x1=3 ， y1=1 ， z1=23 ∴ 平面 PBC 一个法向量为 n1⇀=(3,1,23) ， 设平面 PBC 法向量为 n2⇀=(x2,y2,z2) ， 则 {n2⇀·PD⇀=12x2+32y2−z2=0n2⇀·PC⇀=32x2+32y2−z2=0  ， 取 x2=0 ， y2=2 ， z2=3 ∴ 平面 PBC 一个法向量为 n2⇀=(0,2,3) ， ∴|cos〈n1⇀,n2⇀〉|   =|n1⇀·n2⇀|n1⇀||n2⇀||=277 由图易知平面 PBC 与平面 PDC 夹角为锐角 所以平面 PBC 平面 PCD 成夹角的余弦值为 277 .

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