题目

已知椭圆 ： 的离心率为 ，长轴长为 ，抛物线 ： ，点 是椭圆 上的动点，点 是抛物线 准线上的动点. （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）已知 （O为坐标原点），且点O到直线 的距离为常数，求 的值. 答案：（Ⅰ）∵长轴长为 23 ，∴ a=3 ∵ e=ca=63 ，∴ c=2 . b=1 . ∴椭圆 C1 的方程为 x23+y2=1 . （Ⅱ）设 P(x1,y1) ， Q(x2,y2) ， △OPQ 斜边 PQ 上的高为 h ， ∵OP⊥OQ ， ∴|OP||OQ|=h|PQ| , ∴1h2=|OP|2+|OQ|2|OP|2|OQ|2=1|OP|2+1|OQ|2 ， ∵点 O 到直线 PQ 的距离 h 为常数，由题意 1|OP|2+1|OQ|2 为常数. 当 OP 的斜率存在时，由题意得 OP 的斜率不为0 设直线 OP 为 y=kx ，则直线 OQ 为 y=−1kx . 由 {y=kxx23+y2=1 得 x2+3k2x2=3 ，∴ x12=31+3k2 ，∴ |OP|2=(1+k2)31+3k2 由 {y=−1kxy=−p2 得 −p2=−1kx ，∴ x2=pk2 ，∴ |OQ|2=(1+1k2)p2k24=(1+k2)p24 ∴ 1|OP|2+1|OQ|2=1+3k23(1+k2)+4(1+k2)p2=p2(1+3k2)+123(1+k2)p2=3p2k2+12+p23k2p2+3p2 ∴ 3p2=12+p2 ，∴ p=6 . 当 OP 的斜率不存在时， P(±3,0) ， Q(0,−p2) ， p=6 符合点 O 到直线 PQ 的距离为常数，∴ p=6 .

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