题目

已知函数 （1） 解关于 的不等式 ； （2） 若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解： ∵ f(x)≤−2a+4  即 x2−(a+2)x+2a≤0 ， ∴   （x−a）(x−2)≤0 ，（ⅰ）当 a<2 时，不等式解集为 {x|a≤x≤2} ； （ⅱ）当 a=2 时，不等式解集为 {x|x=2} ； （ⅲ）当 a>2 时，不等式解集为 {x|2≤x≤a} ， 综上所述，（ⅰ）当 a<2 时，不等式解集为 {x|a≤x≤2} ； （ⅱ）当 a=2 时，不等式解集为 {2} ； （ⅲ）当 a>2 时，不等式解集为 {x|2≤x≤a} . 解：对任意的 x∈[1，4]，f(x)+a+1≥0 恒成立，即 x2−(a+2)x+5+a≥0 恒成立，即对任意的 x∈[1,4] ， a(x−1)≤x2−2x+5 恒成立. ① x=1 时，不等式为 0≤4 恒成立，此时 a∈R ；   ②当 x∈(1,4] 时， a≤x2−2x+5x−1=x−1+4x−1 ， ∵   1<x≤4 ， ∴ 0<x−1≤3  ， ∴ x−1+4x−1≥2(x−1)⋅4x−1=4 ， 当且仅当 x−1=4x−1 时，即 x−1=2 ， x=3 时取“ = ”, ∴a≤4 . 综上 a≤4 .

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