题目

给定有限个正数满足条件T ：每个数都不大于50且总和L=1275．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是： 首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可 能的其他选择相比是最小的，r1称为第一组余差； 然后，在去掉已选人第一组的数后，对余下的数按第组的选择方式构成第二组，这时的 余差为r2；如此继续构成第三组(余差为r3)、第四组(余差为r4) ……，直至第N组(余差为rN)把这些数全部分完为止． （1） 判断r1 ， r2 ， ……，rN的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数； （2） 当构成第n(n<N)组后，指出余下的每个数与rn的大小关系，并证明rn-1> （3） 对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11． 答案： 解：r1≤r2≤∧≤rN。除第N组外的每组至少含有 15050 = 3个数 当第 n组形成后，因为n< N，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差rn， 余下数之和也大于第n组的余差rn，即 L-[(150-r1)+(150-r2)+ ……+(150-rn)]>rn 由此可得r1+r2+∧+rn-1 >150n- L 因为(n-1)rn-1≥2r1+r2+∧+rn-1，所以rn-1 > 150n−Ln−1 - 用反证法证明结论，假设N>11，即第11组形成后，还有数没分完，由(1)和(2) ．可知，余下的每个数都大于第11组的余差r11，且r11≥r10 故余下的每个数>r11≥r10> 150×11−127510 =37.5(*) 因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37.5×3=112.5 此时第11组的余差r11=150-第11组数之和<150-1125= 37.5 这与式(*)中r11>37.5矛盾，所以N≤11

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