题目

已知关于x的方程7x3﹣7（p+2）x2+（44p﹣1）x+2＝60p（*） ①求证：不论p为何实数时，方程（*）有固定的自然数解，并求这自然数． ②设方程另外的两个根为u、v，求u、v的关系式． ③若方程（*）的三个根均为自然数，求p的值． 答案：解：①原方程整理得：（7x3﹣14x2﹣x+2）﹣（7x2﹣44x+60）p＝0 解方程7x2﹣44x+60＝0得x1＝2，x2＝ 307 ， 当x＝2时，7x3﹣14x2﹣x+2＝0，故所求自然数为2； ②∵x＝2是方程的固定解， ∴（x﹣2）是方程的一个因式，原方程分解为， （x﹣2）（7x2﹣7px+30p﹣1）＝0 ∴u、v是方程7x2﹣7px+30p﹣1＝0的两根， ∴u+v＝p，uv＝ 30p−17 ． ③由②可知，当p＝18时，方程三个根均为自然数．

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