题目

在公差为d的等差数列 中，已知 ，且 ， ， 成等比数列． （1） 求数列 的通项公式； （2） 若 ， ，求数列 的前n项和 ． 答案： 解：∵ a1,2a2+2,5a3 成等比数列，∴ (2a2+2)2=5a3⋅a1 ，整理得 d2−3d−4=0 ， 解得 d=−1 或 d=4 ， 当 d=−1 时， an=10−(n−1)=−n+11 ； 当 d=4 时， an=10+4(n−1)=4n+6 ． 所以 an=−n+11 或 an=4n+6,n∈N∗ 解：设数列 {an} 前n项和为 Sn ， ∵ d<0 ，∴ d=−1 ， an=−n+11 bn=|2−n3n| 当 n=1 时， Sn=13 ， 当 n≥2 时， Sn=13+032+133+234+⋅⋅⋅+n−23n 令 T=133+234+⋯+n−23n ，则 13T=134+235+⋯+n−23n+1 两式相减可得 23T=133+134+135+…+13n−n−23n+1=133(1−13n−2)1−13−n−23n+1 整理可得 T=112+(14−n2)×13n ， 则 Sn=512+(14−n2)×13n,n≥2 且 S1=13 满足上式， 综上所述： Sn=512+(14−n2)×13n ， n∈N∗

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