题目

已知函数 . （1）若，求；（2）当时，讨论函数的零点个数. 答案：解： ∵ f(α)=tan(α+π8)=2 ， f(β)=tan(β+π8)=4 ， ∴tan(α+β+π4)=tan(α+π8)+tan(β+π8)1−tan(α+π8)⋅tan(β+π8)=2+41−2×4=−67 . ∴tan(α+β)=tan(α+β+π4−π4)=tan(α+β+π4)−11+tan(α+β+π4)=−13 解：当 −3π8<x<5π24 时， −π4<x+π8<π3 ， ∴−1<f(x)=tan(x+π8)<3 ，且 f(x) 在 (−3π8，5π24) 上单调递增，由 g(x)=f2(x)−(m+1)f(x)+m=[f(x)−1]⋅[f(x)−m]=0 得： f(x)=1 或 f(x)=m . 当 m∈(−∞，−1]∪[3，+∞) 时，方程 g(x)=0 只有1个解， g(x) 的零点个数为1；当 m∈(−1，1)∪(1，3) 时，方程 f(x)=1 与 f(x)=m 各有1个解，且这2个解不相等， g(x) 的零点个数为2；当 m=1 时，方程 g(x)=0 只有1个解， g(x) 的零点个数为1. 综上所述：当 m∈(−∞，−1]∪[3，+∞)∪{1} 时， g(x) 的零点个数为1；当 m∈(−1，1)∪(1，3) 时， g(x) 的零点个数为2.

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