题目

      （1） 【尝试探究】 如图1，等腰Rt△ABC的两个顶点B，C在直线MN上，点D是直线MN上一个动点（点D在点C的右边），BC=3，BD=m，在△ABC同侧作等腰Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，EF⊥MN于点F，连结CE. ①求DF的长； ②在判断AC⊥CE是否成立时，小明同学发现可以由以下两种思路解决此问题： 思路一：先证CF=EF，求出∠ECF=45°，从而证得结论成立. 思路二：先求DF，EF的长，再求CF的长，然后证AC2+CE2=AE2 ， 从而证得结论成立. 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程.(如用两种方法作答，则以第一种方法评分) （2） 【拓展探究】 将(1)中的两个等腰直角三角形都改为有一个角为的直角三角形，如图2，∠ABC=∠ADE=90°，∠BAC=∠DAE=30°，BC=3，BD=m，当4≤m≤6时，求CE长的范围. 答案： 解：①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∴∠ADB+∠EDF=90°， ∵EF⊥MN， ∴∠DEF+∠EDF=90°， ∴∠ADB=∠DEF， 在△ABD和△DFE中， {∠ADB=∠DEF∠ABD=∠DFEAD=DE ∴△ABD≌△DFE（AAS）， ∴DF=AB=BC=3； ②证明：思路一： 由①得△ABD≌△DFE（AAS）， ∴DF=AB=BC=3，EF=BD=m， ∴CF=CD+DF=CD+BC=BD=m， ∴CF=EF， ∵EF⊥MN， ∴∠ECF=45°， ∵∠ACB=45°， ∴∠ACE=90°， 即AC⊥CE； 思路二：由（1）知，DF=AB=3，EF=BD=3+m ∴DE=AD= 9+(3+m)2 ∴AE= DE2+AD2=18+2(3+m)2 又由（1）可知，∠EFD=∠ABC=90°,CF=EF=3+m， ∴AC=3 2 ,CE=(3+m) 2 ∵AC2+CE2= 18+2(3+m)2 =AE2， ∴△ACE是直角三角形，即AC⊥CE 解：如图，作EF⊥MN， ∴∠DEF+∠EDF=90°， ∵∠ADE=90°， ∴∠ADB+∠EDF=90°， ∴∠ADB=∠DEF， ∴△ABD∽△DFE， ∴ EFBD=DFAB=DEAD=tan30°=33 ， ∴EF=  3m3 ，DF=3， ∴CF=CD+DF=CD+BC=BD=m， ∴在Rt△CEF中，tan∠ECF= 33 , ∴∠ECF=30°，CE=2EF= 23m3 ， ∴∠ACE=90°， 即AC⊥CE， ∴无论m取何大于3的数，AC⊥CE总成立，即点E在一条直线上运动， ∴4≤m≤6时，CE长的范围是 833≤CE≤43 .

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