题目

如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF． （1） 求证：四边形AECF是菱形； （2） 若AB= ，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号） 答案： 证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，{∠AFO=∠CEO∠AOF=∠COEOA=OC ，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AECF是菱形 解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB= 3 ，在Rt△CDF中，cos∠DCF= CDCF ，∠DCF=30°，∴CF= CDcos30° =2，∵四边形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2 3

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