题目

已知函数 ． （1） 讨论 的单调性； （2） 若 只有1个零点 ，且 ，求 的取值范围； （3） 当 时，是否存在正整数k，使得关于x的方程 有解？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由． 答案： 解： f′(x)=2x2−2(2a+1)x+4a=2(x−1)(x−2a) ， 当 a=12 时， f′(x)=2(x−1)2⩾0 ，所以 f(x) 在 R 上是增函数； 当 a<12 时，令 f′(x)>0 ，解得 x<2a 或 x>1 ； 令 f′(x)<0 ，解得 2a<x<1 ， 所以 f(x) 在 (−∞ ， 2a] 和 [1 ， +∞) 是增函数，在 [2a ， 1] 是减函数． 当 a>12 时，令 f′(x)>0 ，解得 x<1 或 x>2a ； 令 f′(x)<0 ，解得 1<x<2a ， 所以 f(x) 在 (−∞ ， 1] 和 [2a ， +∞) 是增函数，在 [1 ， 2a] 是减函数； 解：由（1）可知，当 a=12 时， f(x) 在 R 上是增函数， 因为 f(0)=43>0 且 x→−∞ ， f(x)→−∞ ， 所以 f(x) 只有1个零点 x0 ，且 x0<0 ，符合题意； 当 a<12 时，需要满足： {f(0)>0f(1)>0 ，即 {163a2>0163a2+2a−13>0 ， 解得 a<−12 或 18<a<12 ； 当 a>12 时，需要满足： {f(0)>0，f(2a)>0， 即 {163a2>0，−83a3+283a2>0 解得 12<a<72 ． 综上所述， a 的取值范围是 (−∞，−12)∪(18，72) ； 解：当 a=−14 时， f(x)=23x3−12x2−x+13 ， f(sinx)+f(cosx)=23(sin3x+cos3x)−12(sin2x+cos2x)−(sinx+cosx)+23 =23(sinx+cosx)(sin2x−sinxcosx+cos2x)−12−(sinx+cosx)+23 =(sinx+cosx)(23−23sinxcosx)−(sinx+cosx)+16 =(sinx+cosx)(23−23sinxcosx−1)+16 =−13(sinx+cosx)(1+2sinxcosx)+16 =−13(sinx+cosx)3+16=−223sin3(x+π4)+16 ， 因为 sin(x+π4)∈[−1，1] ，所以 |f(sinx)+f(cosx)|∈[0，223+16] ， 因为 1<223+16<2 ，所以存在 k=1 ，使得关于 x 的方程 |f(sinx)+f(cosx)|=k 有解．

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