题目

如图，△ABC中，∠C＝90°． （1） 求作△AEB ， 使△AEB是以AB为底的等腰三角形，且使点E在边BC上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2） 在（1）所作的图形中，若∠CAE：∠EAB＝4：1，求∠AEB的度数； （3） 在（2）的条件下，求证：BE＝2AC ． 答案： 解：如图作AB的垂直平分线交BC于点E，则△EAB即为所求 解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA=EB， ∴∠EAB=∠B． 又∵∠CAE：∠EAB=4：1， ∴∠CAE：∠B=4：1， ∴∠CAB=5∠B． 在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°， 得6∠B=90°， ∴∠B=15° ∴∠AEB=180°-∠EAB-∠B=150°． 解： ∵∠EAB=∠B=15° ∴∠AEC=∠EAB+∠B=30° ∵∠C＝90° ∴AE=2AC ∵EA=EB， ∴BE＝2AC

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