题目

如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA ， CB、CD ， CA交⊙O于点M ， 交OD于点N ， CB的延长线交⊙O于点E ， 连接AD ， ME ， 且∠ACD＝∠E ． （1） 求证：CD是⊙O的切线； （2） 连接DM ， 若⊙O的半径为6，tanE＝ ，求DM的长． 答案： 证明：∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴AB∥CD， ∴∠ODC＝∠AOD＝90°， 即OD⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； 解：过点D作DF⊥AC于F， ∵⊙O的半径为6，tanE＝ 13 ＝tan∠ACD＝tan∠OAN， ∴ON＝ 13 OA＝ 13 ×6＝2， ∴DN＝OD﹣ON＝6﹣2＝4， ∴CD＝3DN＝12， 在Rt△CDN中， CN＝ DN2+CD2 ＝ 42+122 ＝4 10 ， 由三角形的面积公式可得， CN•DF＝DN•CD， 即4 10 DF＝4×12， ∴DF＝ 6105 ， 又∵∠AMD＝ 12 ∠AOD＝ 12 ×90°＝45°， ∴在Rt△DFM中， DM＝ 2 DF＝ 2 × 6105 ＝ 1255 ．

查看本题答案和解析