题目

                （1） 证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E ， Q分别在边BC ， AB上，DQ⊥AE于点O ， 点G ， F分别在边CD ， AB上，GF⊥AE ． ①求证：DQ＝AE； ②推断： 的值为； （2） 类比探究：如图（2），在矩形ABCD中， ＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG ， EP交CD于点H ， 连接AE交GF于点O ． 试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由； （3） 拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ， 当k＝ 时，若tan∠CGP＝ ，GF＝2 ，求CP的长． 答案： 【1】解：①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ． ∴∠QAO+∠OAD＝90°． ∵AE⊥DQ， ∴∠ADO+∠OAD＝90°． ∴∠QAO＝∠ADO． ∴△ABE≌△DAQ（ASA）， ∴AE＝DQ． ②1 解：结论： FGAE=k ． 理由：如图2中，作GM⊥AB于M． ∵AE⊥GF， ∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°， ∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°， ∴∠BAE＝∠FGM， ∴△ABE∽△GMF， ∴ GFAE ＝ GMAB ， ∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°， ∴四边形AMGD是矩形， ∴GM＝AD， ∴ GFAE=ADAB=BCAB=k ． 解：如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M． ∵FB∥GC，FE∥GP， ∴∠CGP＝∠BFE， ∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝ 34=BEBF ， ∴可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k， ∵ FGAE ＝ 23 ，FG＝2 10 ， ∴AE＝3 10 ， ∴（3k）2+（9k）2＝（3 10 ）2， ∴k＝1或﹣1（舍弃）， ∴BE＝3，AB＝9， ∵BC：AB＝2：3， ∴BC＝6， ∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6， ∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°， ∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°， ∴∠FEB＝∠EPM， ∴△FBE∽△EMP， ∴ EFPE ＝ BFEM ＝ BEPM ， ∴ 56=4EM=3PM ， ∴ EM=245,PM=185 ， ∴ CM=EM−EC=245−3=95 ， ∴ PC=CM2+PM2=955 ．

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