题目

已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，且 轴， 的周长为6. （1） 求椭圆的标准方程； （2） 过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，设 为坐标原点，是否存在常数 ，使得 恒成立？请说明理由. 答案： 解：由题意， F1(−1,0) ， F2(1,0) ， c=1 ∵ ΔPF1F2 的周长为6，∴ |PF1|+|PF2|+2c=2a+2c=6 ∴ a=2 ， b=3 ∴椭圆的标准方程为 x24+y23=1 解：假设存在常数 λ 满足条件. ①当过点 T 的直线 AB 的斜率不存在时， A(0,3) ， B(0,−3) ， ∴ OA⇀⋅OB⇀+λTA⇀⋅TB⇀=   −3+λ[(3−1)(−3−1)]=   −3−2λ=−7 ， ∴当 λ=2 时， OA⇀⋅OB⇀+λTA⇀⋅TB⇀=−7 ； ②当过点 T 的直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+1 ，设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， 联立 {x24+y23=1y=kx+1  ，化简得 (3+4k2)x2+8kx−8=0 ， ∴ x1+x2=−8k4k2+3 ， x1x2=−84k2+3 . ∴ OA⇀⋅OB⇀+λTA⇀⋅TB⇀=   x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1−1)(y2−1)] =(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 =−8(1+λ)(1+k2)4k2+3−8k24k2+3+1   =(−8)[(λ+2)k2+1+λ]4k2+3+1=−7 ∴ λ+24=1+λ3=1 ，解得： λ=2 即 λ=2 时， OA⇀⋅OB⇀+λTA⇀⋅TB⇀=−7 ； 综上所述，当 λ=2 时， OA⇀⋅OB⇀+λTA⇀⋅TB⇀=−7 .

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