题目

设椭圆 的离心率 ，椭圆上的点到左焦点 的距离的最大值为3. （1） 求椭圆 的方程； （2） 求椭圆 的外切矩形 的面积 的取值范围. 答案： 解：由题设条件可得 ca=12 ， a+c=3 ，解得 a=2 ， c=1 ∴ b2=a2−c2=3 ，所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1 解：当矩形 ABCD 的一组对边斜率不存在时，得矩形 ABCD 的面积 S=83 当矩形 ABCD 四边斜率都存在时，不防设 AB ， CD 所在直线斜率为 k ，则 BC ， AD 斜率为 −1k ， 设直线 AB 的方程为 y=kx+m ，与椭圆联立 {y=kx+mx24+y23=1 可得 (4k2+3)x2+8kmx+4m2−12=0 ， 由 Δ=(8km)2−4(4k2+3)(4m2−12)=0 ，得 m2=4k2+3 显然直线 CD 的直线方程为 y=kx−m ，直线 AB ， CD 间的距离 d1=2|m|k2+1=2m2k2+1=24k2+3k2+1 ， 同理可求得 BC ， AD 间的距离为 d1=24k2+31k2+1=24+3k2k2+1 所以四边形 ABCD 面积为 SABCD=d1d2=43+4k2k2+14+3k2k2+1   =412k4+25k2+12k4+2k2+1   =412+k2k4+2k2+1 =412+1k2+1k2+2   ≤412+14=14 （等号当且仅当 k=±1 时成立） 又 SABCD>412=83 ， 故由以上可得外切矩形面积的取值范围是 [83,14]

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