题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C ，其顶点为D ，连接AD ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图①，若点P是线段AD上一个动点，过点P作PE⊥y轴于点E ，求△PAE面积S的最大值；（3）如图②，若点M是x轴上一个动点，过M作直线MQ∥BC交抛物线于点Q ，问抛物线上是否存在点Q ，使以点B、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案：解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点， ∴ {0=−9−3b+c0=−1+b+c 解得： {b=−2c=3 ， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+ 解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴D（﹣1，4），由点A、D的坐标得：直线AD的函数解析式为y＝2x+6； ∴设点P的坐标为（p，2p+6）， ∴ SΔPAE=12(−p)(2p+6)=−(p+32)2+94 ， ∴当 p=−32 时， SΔPAE 取值最大，最大值 SΔPAE ＝ 94 解：设点M的坐标为M（m，0）， ∵MQ∥BC，以点B、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴MQ∥BC，MQ＝BC， ∵A（﹣3，0）、B（1，0）， ∴①当点Q在x轴上方时，则点Q的坐标为（m﹣1，3）， ∴﹣(m﹣1)2﹣2（m﹣1）+3＝3， ∴m1＝﹣1，m2＝1（舍去）， ∴点Q的坐标为（﹣2，3）； ②当点Q在x轴下方时，点Q的坐标为（m+1，﹣3）， ∴﹣（m+1）2﹣2（m+1）+3＝﹣3， ∴ m1=−2+7 ， m2=−2−7 ， ∴点Q的坐标为 (−1+7，−3) 或 (−1−7，−3) ，综上，点Q的坐标为 (−1+7，−3) 或 (−1−7，−3) 或（﹣2，3）．

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