题目

如图，在 中， ， ，点 在 边上， ， 为锐角． （1） 若 ，求线段 的长度； （2） 若 ，求 的值． 答案： 在△ ABD 中，由余弦定理得 cosB=AB2+BD2−AD22AB⋅BD=36+BD2−1612⋅BD=34 ， ∴ BD=5 或 BD=4 ． 当 BD=4 时， cos∠ADB=16+16−362×4×4<0 ，则 ∠ADB>π2 ，不合题意，舍去； 当 BD=5 时， cos∠ADB=16+25−362×4×5>0 ，则 ∠ADB<π2 ，符合题意． ∴ BD=5 ． 在△ ABC 中， cosB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=36+BC2−7212⋅BC=34 ， ∴ BC=12 或 BC=−3 （舍）． ∴ DC=BC−BD=7 ． 记 ∠DAC=θ ，则 ∠BAD=2θ ．在△ ABD 中， cos∠BAD=cos2θ=AB2+AD2−BD22AB⋅AD=916 ， ∴ 2θ 为锐角，得 sin2θ=1−cos2θ2=732 ， sin2θ=5716 ，即 sinθ=148 ， cosθ=528 ， 法一： sin3θ=sin2θcosθ+cos2θsinθ=171464 ，同理 cos3θ=5264 ． 由 cosB=34 知： sinB=74 ， ∴ sinC=sin(π−B−3θ)=sin(B+3θ)=sinBcos3θ+cosBsin3θ=71432 ． 法二： cos∠BDA=AD2+BD2−AB22AD⋅BD=16+25−362×4×5=18 ， sin∠BDA=378 ． ∴ sinC=sin(∠BDA−θ)=sin∠BDAcosθ−cos∠BDAsinθ=71432 .

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