题目

已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠﹣2）．（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；（2）对（1）中的g（x）．命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2 ， +∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数；如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，求f（2）的取值范围． 答案：解：（1）由题意可得 h（x）=x2+lg|a+2|； g（x）=（a+1）x．（2）由二次函数f（x））=x2+（a+1）x+lg|a+2|的图象是开口向上的抛物线，且的对称轴为 x=-a+12，在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数，故有 -a+12≤a+12，解得a≤-32或a≥-1，因为a≠﹣2．由函数g（x）是减函数得a+1＜0，解得a＜﹣1，a≠﹣2．当命题P真且命题Q假时，由，解得a≥﹣1．当命题P假且命题Q真时，由-32a<a<-1a<-1a≠-2，即得﹣32＜a＜﹣1．故当命题P、Q有且仅有一个是真命题，得a的取值范围是[-1，+∞)∪(-32，-1)=(-32，+∞)．（3）f（2）=4+2a+2+lg|a+2|=6+2a+lg（a+2），因为在a∈(-32，+∞)上递增，所以，f2>6+2·-32+lg-32+2=3-lg2，即：f（2）∈（3﹣lg2，+∞）．

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