题目

已知是定义在上的偶函数，且 ， 当时， ． （1） 求的解析式及单调区间； （2） 求在区间上的最大值． 答案： 解：当x<0时，−x>0，∴f(−x)=12x+log2(−x)−2；∵f(x)为R上的偶函数，∴f(x)=f(−x)=12x+log2(−x)−2；又f(0)=0，∴f(x)={2x+log2x−2，x>00，x=012x+log2(−x)−2，x<0；∵y=2x，y=log2x在(0，+∞)上单调递增，∴当x>0时，f(x)单调递增；根据偶函数对称性可知：当x<0时，f(x)单调递减；综上所述：f(x)的单调递增区间为(0，+∞)；单调递减区间为(−∞，0). 解：由（1）知：f(1)=f(−1)=f(0)=0；当−12<m<0时，f(x)在[−12，m]上单调递减，∴f(x)max=f(−12)=2−3；当0≤m≤1时，f(x)在[−12，0)上单调递减，在(0，m]上单调递增，又f(−12)<f(−1)=0，f(m)≤f(1)=0，∴f(x)max=f(0)=0；当m>1时，f(x)在[−12，0)上单调递减，在(0，m]上单调递增，又f(−12)<f(−1)=0，f(m)>f(1)=0，∴f(x)max=f(m)=2m+log2m−2；综上所述：f(x)max={2−3，−12<m<00，0≤m≤12m+log2m−2，m>1.

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