题目

如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）. （1） 求抛物线的解析式； （2） 若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值； （3） E是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 解：将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c中， 得： {0=9+3b+c3=c  ， 解得： {b=−4c=3  ， 故抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3； 解：设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+3， 把点B（3，0）代入y＝kx+3中， 得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， ∵MN∥y轴， ∴点N的坐标为（m，﹣m+3）， ∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为x＝2， ∴点（1，0）在抛物线的图象上， ∴1＜m＜3. ∵线段MN＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣ 32 ）2+ 94 ， ∴当m＝ 32 时，线段MN取最大值，最大值为 94 ； 解：存在.点F的坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）. 当以AB为对角线，如图1， ∵四边形AFBE为平行四边形，EA＝EB， ∴四边形AFBE为菱形， ∴点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点， ∴F点坐标为（2，﹣1）； 当以AB为边时，如图2， ∵四边形AFBE为平行四边形， ∴EF＝AB＝2，即F2E＝2，F1E＝2， ∴F1的横坐标为0，F2的横坐标为4， 对于y＝x2﹣4x+3， 当x＝0时，y＝3； 当x＝4时，y＝16﹣16+3＝3， ∴F点坐标为（0，3）或（4，3）， 综上所述，F点坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）.

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