题目

四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． （1） 证明：PB∥平面AEC； （2） 设AP=1，AD= ，三棱锥P﹣ABD的体积V= ，求二面角D﹣AE﹣C的大小． 答案： 证明：连结BD交AC于点O，连结EO， ∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点，又E为的PD的中点，∴EO∥PB，EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC 解：∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形， ∴AB，AD，AP两两垂直，如图，以A为坐标原点， AB→  的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz，∵AP=1，AD= 3 ，三棱锥P﹣ABD的体积V= 34 ，∴三棱锥P﹣ABD的体积 V=13×12AB·AD·AP=34 ，得 AB=32 ．则A（0，0，0），D（0， 3 ，0），B（ 32 ，0，0），E（0， 32 ， 12 ），C （ 32 ， 3 ，0），则 AE→ =（0， 32 ， 12 ）， AC→ =（ 32 ， 3 ，0）设 m→(x,y,z) 为平面ACE的法向量，则 {m→·AE→=0m→·AC→=0 ，即 {32y+12z=032x+3y=0 ，令x=1，得 y=32 ， z=32 ，则 π→ =（1， −32 ， 32 ），又 n→(1,0,0) 为平面DAE的法向量，∴cos＜ m→,π→ ＞= m→·π→|m→||π→|=11+34+94=12 ，如图可得二面角D﹣AE﹣C为锐角，∴二面角D﹣AE﹣C为 π3 ．

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