题目

已知二次函数 ，若 ，且对于 恒成立. （Ⅰ）求 的解析式； （Ⅱ）求函数 在 上的最小值 的解析式. 答案：解：（Ⅰ）由 f(2)=2 得 4a+2b−1=0 ，则 4a=1−2b 由 2x−2≤f(x) 恒成立得 2x−2≤ax2+bx+1 ，即 ax2+(b−2)x+3≥0 恒成立， 得 a>0 且 (b−2)2−12a≤0 ，将 4a=1−2b 代入得， (b−2)2−3(1−2b)≤0 ，化简得 (b+1)2≤0 ，∴ b=−1 ，则 a=34 ， ∴ f(x)=34x2−x+1 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 f(x)=34x2−x+1=34(x−23)2+23 ， 当 13<t≤23 时， f(x) 在 [13,t] 上单调递减，则 g(t)=f(t)= 34t2−t+1 ； 当 t>23 时， f(x) 在 [13,23] 上单调递减，在 [23,t] 上单调递增，则 g(t)=f(23)=23 ； 综上： g(t)={34t2−t+1，13<t≤2323,t>23

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