题目

如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD． （1） 证明：平面A1AE⊥平面A1DE； （2） 若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值． 答案： 证明：依题意，BE=EC= 12 BC=AB=CD， ∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°，又∵△CDE中，∠CED=∠CDE= 12 （180°﹣∠ECD）=30°∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE，∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1．，∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE，∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE 解：取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C， ∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．∵△CDE中，DE= 3 CD= 3 =A1E= A1A2+AE2 ，AE=AB=1∴A1A= 2 ，由此可得BF= 22 ，AF=EF= 12+1 = 62 ，∴cos∠AEF= AE2+EF2+AF22×AE×EF = 66 ，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为 66

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