题目

已知直线y= 分别交x轴、y轴于A、B两点.点P从A点出发在x轴上以每秒5个单位的速度向左运动，同时点Q从A点出发沿射线AB以每秒4个单位的速度运动. （1）试说明：运动过程中PQ始终垂直于AB；（2）当四边形BOPQ的面积是△ABO面积的一半时，求出发多长时间？（3）当△APQ的内心恰好在OB上时，求运动时间. 答案：解：把x=0代入y= -34x+3 得y=0，∴点B坐标为（0,3），∴OB=3，把y=0代入y= -34x+3 得 -34x+3=0 ，解得x=4，∴点A坐标为（4,0），∴OA=4，在Rt△OAB中，AB= OA2+OB2=5 . 设点P、Q运动时间为t，则AP=5t，AQ=4t ∴ AQAP=4t5t=45 ， ∵ AOAB=45 ， ∴ AOAB=AQAP ， ∵ ∠PAQ=∠BAO ， ∴△APQ∽△ABO， ∴ ∠AQP=∠AOB=90° ， ∴PQ⊥AB；解：①当P在y轴右侧时， SΔAPQ=12SΔOAB ， ∵△APQ∽△ABO， ∴ (PAAB)2=SΔAPQSΔOAB=12 ， ∴PA＝ 22AB=522 ，即5t＝ 522 ， ∴t＝ 22 ； ②当P在y轴左侧时， SΔAPQ=32SΔOAB ， ∵△APQ∽△ABO， ∴ (PAAB)2=SΔAPQSΔOAB=32 ， ∴PA＝ 62AB=526 ， ∴5t＝ 562 ， ∴t＝ 62 . 综上所述，t＝ 22 或 62 时，四边形BOPQ的面积是△ABO面积的一半；解：如图，设△APQ的内心为I，连接AI，作IH⊥AB于H，则IH＝OI＝r， ∵ SΔAOI+SΔABI=SΔAOB ， ∴ 12×4r+12×5r=12×3×4 ， ∴ r=43 ， ∴AQ＝4+ 43=163 ，即： 4t=163 ， ∴ t=43 .

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