题目

已知函数. （1） 当m＝1时，求f（x）在[1，e]上的值域； （2） 设函数f（x）的导函数为 ， 讨论零点的个数. 答案： 解：当m=1时，f(x)=ex+x−xlnx，f'(x)=ex−lnx，f′′(x)=ex−1x，f′′′(x)=ex+1x2>0，′所以f′′(x)=ex−1x在[1，e]上递增，f′′(1)=e−1>0，所以f'(x)=ex−lnx在[1，e]上递增，f'(1)=e>0，所以f(x)在[1，e]上递增，min=f(1)=e+1，max=f(e)=ee.所以f(x)在[1，e]上的值域[e+1，ee]. 解：f(x)=emx+x−xlnx(m≥0)，f'(x)=memx−lnx，当m=0时，f'(x)=−lnx，f'(1)=0，即x=1是f'(x)的唯一零点.当m≥1时，memx≥ex，结合y=ex，y=x，y=lnx的图象以及性质可知ex>x>lnx(x>0)，F(x)=ex−x，F'(x)=ex−1，F(x)在区间(−∞，0)，F'(x)<0，F(x)递减；在区间(0，+∞)，F'(x)>0，F(x)递增，所以F(x)≥F(0)=1>0，故ex>x.M(x)=x−lnx(x>0)，M'(x)=1−1x=x−1x，所以M(x)在区间(0，1)，M'(x)≤0，M(x)递减；在区间(1，+∞)，M'(x)>0，M(x)递增，所以M(x)≥M(1)=1>0，所以在区间(0，+∞)上有x>lnx.所以f'(x)=memx−lnx≥ex−lnx>0，f'(x)没有零点.当0<m<1时：令g(x)=f'(x)=memx−lnx(x>0)，g'(x)=m2emx−1x，g′′(x)=m3emx+1x2>0，所以g'(x)在(0，+∞)上递增，由y=m2emx与y=1x的图象可知，在区间(0，+∞)上，存在唯一x0，使m2emx0=1x0①，即g'(x0)=m2emx0−1x0=0. 所以g(x)在区间(0，x0)，g'(x)<0，g(x)递减；在区间(x0，+∞)，g'(x)>0，g(x)递增，所以当x=x0时，f(x)取得极小值也即是最小值g(x0)=memx0−lnx0，由①得emx0=1m2x0，所以g(x0)=1mx0−lnx0；由①得ln(m2emx0)=ln1x0，lnm2+mx0=−lnx0，2lnm+mx0=−lnx0，所以g(x0)=1mx0−lnx0=1mx0+mx0+2lnm≥21mx0⋅mx0+2lnm=2(1+lnm)，当且仅当1mx0=mx0，x0=1m时等号成立.所以当2(1+lnm)>0，即1e<m<1时，g(x0)>0，则g(x)也即f'(x)没有零点；当2(1+lnm)=0，即m=1e，x0=1m=e时，g(x)也即f'(x)有唯一零点x=e.当2(1+lnm)<0，即0<m<1e，g(x0)<0，则g(x)也即f'(x)有2个零点.综上所述：当m=0或m=1e时，f'(x)有唯一零点；当m>1e时，f'(x)没有零点；当0<m<1e，时，f'(x)有2个零点.

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