题目

设函数 ． （Ⅰ）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 ； （Ⅱ）若 在 处取得极大值，求 的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）因为 f(x)=a x2+(4a−2)x+4a−6ex ， 所以 f′(x)=(2ax+4a−2)ex−[a x2+(4a−2)x+4a−6]exe2x  =−(ax−2)(x+2)ex  ． 所以 f′( 1 )=−3( a−2 )e ． 由题设知 f′( 1 )=0 ，解得 a=2 ． 此时 f( 1 )=10e≠1 ． 所以 a 的值为2． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 f'(x)=−(ax−2)(x+2)ex  ． ⑴当 a<−1 时 令 f'(x)=0  ，则 x=2a ，或 a=−1 ，并且 2a>−2 ． x (−∞,−2) −2 (−2,2a) 2a (2a,+∞) f'(x) + 0 − 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 此时， f(x) 在 a=−1 处取得极大值，符合题意． ⑵当 a≥−1 时 若 x∈( −2,0 ) ，则 x+2>0 ， a x−2≤−x−2<0 ， 所以 f'(x)=−(ax−2)(x+2)ex >0 ． 所以 −2 不是 f(x) 的极大值点． 综上可知， a 的取值范围是 ( −∞, −1 ) ．

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