题目

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10厘米，OC＝6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米/秒． （1） 设点Q的运动速度为0.5厘米/秒，运动时间为t秒， ①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标； ②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标． （2） 设点Q的运动速度为a厘米/秒，问是否存在a的值，使得△OCP∽△PAQ∽CBQ？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：①先设两点运动的时间是t时，△CPQ面积最小． S△CPQ＝S梯形QCOA﹣S△COP﹣S△APQ＝ 12 （AQ+OC）×OA﹣ 12 AP•AQ﹣ 12 OC•OP ＝ 12 （0.5t+6）×10﹣ 12 ×0.5t×（10﹣t）﹣ 12 ×6×t ＝ 14 （t﹣6）2+21 ∵a＝ 14 ＞0， ∴当t＝6时，S△CPQ有最小值， 那么AQ＝0.5t＝0.5×6＝3， ∴Q点的坐标是（10，3）． ②△COP和△PAQ相似，有△COP∽△PAQ和△COP∽△QAP两种情况： （i）当△COP∽△PAQ时： ∴ AQAP ＝ OPOC ， ∴ 0.5t10−t ＝ t6 ， 即t2﹣7t＝0， 解得，t1＝0（不合题意，舍去），t2＝7． ∴t＝7， ∴AQ＝0.5t＝0.5×7＝3.5． ∴Q点的坐标是（10，3.5）． （ii）当△COP∽△QAP时： OPOC ＝ APAQ ， ∴ t6 ＝ 10−t0.5t ， 即t2+12t﹣120＝0 解得：t1＝﹣6+2 39 ，t2＝﹣6﹣2 39 （不合题意，舍去） ∴AQ＝0.5t＝﹣3+ 39 ． ∴Q点的坐标是（10，﹣3+ 39 ）； 解：∵△COP∽△PAQ∽△CBQ， ∴ {OPOC=AQAPOPOC=BQBC ， 即 {t6=at10−tt6=6−at10 ， 解得，t1＝2，t2＝18， 又∵0＜t＜10， ∴t＝2．代入任何一个式子，可求a＝ 43 ． ∴AQ＝at＝ 83 ∴Q点的坐标是（10， 83 ）．

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