题目

如图所示，在xOy平面内，有一电子源持续不断地沿正方向每秒发射出N个速率均为v的电子，形成宽为2b、在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流。电子流沿x方向射入一个半径为R、中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向里，电子经过磁场偏转后均从P点射出。在磁场区域的正下方有一对足够长平行于x轴的金属平行板K和A，其中K板与P点的距离为d，中间开有宽度为2l且关于y轴对称的小孔。K板接地，A与K两板间加有正负、大小均可调的电压UAK ， 穿过K板小孔到达A板的所有电子被收集且导出，从而形成电流。已知 ， ，电子质量为m，电荷量为e，忽略电子间相互作用。 （1） 求磁感应强度B的大小； （2） 求电子流从P点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围； （3） 满足（2）的前提下，定性画出电流i随UAK变化的关系曲线。要求标出相关数据，且要有计算依据。 答案： 依题意知，粒子在磁场中轨道半径 r=R 根据 qvB=mv2r 解得 B=mveR 粒子从最上端飞出磁场的运动轨迹图如下 上端电子从P点射出时与负y轴最大夹角 θm ，由几何关系 sinθm=bR 解得 θm=60∘ 同理下端电子从P点射出与负y轴最大夹角也是 60∘ ，所以电子从P点射出时与负 y 轴方向的夹角θ的范围 −60∘≤θ≤60∘ 进入小孔的电子速度与y轴间夹角正切值大小为 tanα=ld=1 解得 α=45∘ 此时对应的能够进入平行板内电子长度为 2y′ ，根据几何关系知 y′=Rsinα=22R 设每秒能到达A板的电子数为n，则由比例关系知 nN=y′b 解得 n=63N=0.82N 可得饱和电流大小 imax=0.82Ne 由动能定理得出遏止电压 UC=−12emv2 与负y轴成 45∘ 角的电子的运动轨迹刚好与A板相切，此时速度为 v1=vcosα 其逆过程是类平抛运动，达到饱和电流所需要的最小反向电压 U′=−14emv2 综上所述，可定性画出电流i随UAK变化的关系曲线如下

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