题目

如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠CAB的角平分线AE与AB的垂直平分线DE相交于点E。 （1） 如图2，若点E正好落在边BC上，求∠B的度数； （2） 在(1)的基础上，证明：BC=3DE。 （3） 如图3，若点E满足C、E、D共线。线段AD、DE、BC之间是否满足AD+DE= BC，若满足请给出证明；若不满足，请说明理由。 答案： 解：∵AE平分∠CAB ∴∠CAE=∠BAE 又∵ED是AB的垂直平分线 ∴EA=EB ∴，∠B=∠DAE ∴∠CAE=∠DAE=∠B 又∵∠C=90° ∴ ∠B=13×90∘=30∘ 证明：∵AE平分∠CAB，且EC⊥AC，ED⊥AB ∴EC=ED， 在 Rt△EDB 中，∠B=30° ∴BE=2DE， BC=BE+CE=BE+DE=3DE 解：线段AD、DE、BC之间满足AD+DE=BC，证明如下： 过点E作EF⊥AC于点F，  ∵ED是AB的垂直平分线，且C、E、D共线 ∴CD也是AB的垂直平分线 ∴CA=CB 又 ∠ACB=90° ∴ △ABC 是等腰直角三角形． ∴∠ACD=45° ∴ △CEF 是等腰直角三角形． ∴EF=CF ∵AE平分∠CAB，且EF⊥AC，ED⊥AB ∴EF=ED ∴ED=FC 在 Rt△ADE 和 Rt△AFE 中 {EF=EDAE=AE ∴ Rt△ADE=Rt△AFE(HL) ∴AD=AF， ∴BC=AC=AF+FC=AD+DE

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