题目

已知 ， 分别是双曲线 的左，右顶点，直线 （不与坐标轴垂直）过点 ，且与双曲线 交于 ， 两点. （1） 若 ，求直线 的方程； （2） 若直线 与 相交于点 ，求证：点 在定直线上. 答案： 解：设直线 l 的方程为 x=my+2 ，设 C(x1,y1) ， D(x2,y2) ，把直线 l 与双曲线 E 联立方程组， {x=my+2x2−y24=1 ，可得 (4m2−1)y2+16my+12=0 ， 则 y1+y2=−16m4m2−1,y1y2=124m2−1 ， CN→=(2−x1,−y1) ， ND→=(x2−2,y2) ，由 CN→=3ND→ ，可得 y1=−3y2 ， 即 y2=8m4m2−1 ①， −3y22=124m2−1 ②， 把①式代入②式，可得 −3(8m4m2−1)2=124m2−1 ，解得 m2=120 ， m=±510 ， 即直线 l 的方程为 25x−y−45=0 或 25x+y−45=0 ． 解：直线 AC 的方程为 y=y1x1+1(x+1) ，直线 BD 的方程为 y=y2x2−1(x−1) ， 直线 AC 与 BD 的交点为 P ，故 y1x1+1(x+1) =y2x2−1(x−1) ，即 y1my1+3(x+1) =y2my2+1(x−1) ， 进而得到 x+1x−1=my1y2+3y2my1y2+y1 ，又 y1y2=−34m(y1+y2) ， 故 x+1x−1=−34(y1+y2)+3y2−34(y1+y2)+y1=−3y1+9y2y1−3y2=−3 ，解得 x=12 故点 P 在定直线 x=12 上．

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