题目

已知函数 ，记 ． （1） 解不等式： ； （2） 设k为实数，若存在实数 ，使得 成立，求k的取值范围； （3） 记 (其中a，b均为实数)，若对于任意的 ，均有 ，求a，b的值． 答案： 解：函数 f(x)=2x ， f(2x)−f(x)≤6 ， 即为 22x−2x−6≤0 ，即为 (2x+2)(2x−3)≤0 ， 即有 2x≤3 ，解得 x≤log23 ， 即解集为 (−∞,log23] ； 解：存在实数 x0∈(1,2] ，使得 g(2x0)=k⋅g2(x0)−1 成立， 即为 1+22x0−2−2x0=k(2x0−2−x0)2 ， 设 t=2x0−2−x0 ，在 (1,2] 递增，可得 32<t≤154 ， (2x0+2−x0)2=22x0+2−2x0+2=t2+4 ， 即有 1+t4+t2=kt2 ， 则 k=1t2+4t2+1 ， 设 m=1t2 ， m∈[16225,49) ， 即有 y=m+4m+1 ，在 m∈[16225,49) 递增， 可得 y∈[271225,199) ， 即有 k∈[271225,199) 解： h(x)=f(2x+2)+a⋅f(x)+b =22x+2+a⋅2x+b=4(2x)2+a⋅2x+b ， 令 v=2x ， ∵x∈[0,1] ， ∴v∈[1,2] ， ∴h(x)=φ(v)=4v2+av+b ． 若对于任意的 x∈[0,1] ，均有 |h(x)|≤12 ， 即对任意 v∈[1,2] ， |φ(v)|=|4v2+av+b|≤12 ． ∴{|4+a+b|≤12①|16+2a+b|≤12②|16b−a216|≤12③  ， 解得： a=−12 ， b=172 ．

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