题目

如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD． （1） 求抛物线的函数表达式； （2） E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标； （3） 点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长． 答案： 解：∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），∴设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），∴﹣8a=4，∴a=﹣ 12 ，∴抛物线解析式为y=﹣ 12 （x+2）（x﹣4）=﹣ 12 x2+x+4 解：如图1，①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，由（1）知，OC=4，∵∠ACO=∠E′CF′，∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，∴ AOCO=E′F′CF′ = 12 ，设线段E′F′=h，则CF′=2h，∴点E′（2h，h+4）∵点E′在抛物线上，∴﹣ 12 （2h）2+2h+4=h+4，∴h=0（舍）h= 12∴E′（1， 92 ），②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，连接CE，过E作EF⊥CD，垂足为F，由（1）知，OC=4，∵∠ACO=∠ECF，∴tan∠ACO=tan∠ECF，∴ AOCO=EFCF = 12 ，设线段EF=h，则CF=2h，∴点E（2h，4﹣h）∵点E在抛物线上，∴﹣ 12 （2h）2+2h+4=4﹣h，∴h=0（舍）h= 32∴E（3， 52 ），点E的坐标为（1， 92 ），（3， 52 ） 解：①CM为菱形的边，如图2，在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，∴四边形CM′P′N′是平行四边形，∵四边形CM′P′N′是菱形，∴P′M′=P′N′，过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，∵OC=OB，∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，∴∠P′M′C=45°，设点P′（m，﹣ 12 m2+m+4），在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′= 2 m，∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，∵P′N′∥y轴，∴N′（m，﹣m+4），∴P′N′=﹣ 12 m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣ 12 m2+2m，∴ 2 m=﹣ 12 m2+2m，∴m=0（舍）或m=4﹣2 2 ，菱形CM′P′N′的边长为 2 （4﹣2 2 ）=4 2 ﹣4．②CM为菱形的对角线，如图3，在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，∵四边形CPMN是菱形，∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，∵∠OCB=45°，∴∠NCQ=45°，∴∠PCQ=45°，∴∠CPQ=∠PCQ=45°，∴PQ=CQ，设点P（n，﹣ 12 n2+n+4），∴CQ=n，OQ=n+4，∴n+4=﹣ 12 n2+n+4，∴n=0（舍），∴此种情况不存在．∴菱形的边长为4 2 ﹣4

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