题目

如图所示，经过村庄B有两条夹角为的公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F，分别在两条公路边上建两个仓库D和E（异于村庄B），设计要求（单位：千米）. （1） 若 ， 求的值（保留根号）； （2） 若设 ， 当为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小（即工厂F与村庄B的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1，取） 答案： 解：若∠BDE=30∘，又由∠DBE=60∘，所以此时DE⊥BA，又因为△DEF为边长为3的等边三角形，所以DF⊥BC，在直角△BDE中，因为DE=3，所以DB=3sin60°=23，在直角△BDF中，可得BF=BD2+DF2=21. 解：若∠BDE=θ，在△BDE中，3sin60°=BDsin(120°−θ)，所以BD=23sin(120°−θ)，在△BDF中，cos∠BDF=cos(60°+θ)，其中0°<θ<120°，所以BF2=BD2+DF2−2BD⋅DFcos∠BDF=12sin2(120°−θ)−123sin(120°−θ)cos(60°+θ)+9=12sin2(60°+θ)−123sin(60°+θ)cos(60°+θ)+9=6[1−cos(120°+2θ)]−63sin(120°+2θ)+9，即BF2=−6[3sin(120°+2θ)+cos(120°+2θ)]+15=−12sin(150°+2θ)+15，当且仅当150°+2θ=270°时，即θ=60∘时，BF2取得最大值27，此时BF=33≈5.2（千米），所以当θ=60∘时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小，此时工厂距离村庄B的最远距离约为5.2千米.

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