题目

如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，DE⊥BD，连结AC，CE. （1） 已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x.用含x的代数式表示AC+CE的长； （2） 请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？并求出它的最小值； （3） 根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值. 答案： 解：在Rt△ABC和Rt△CDE中，AB=3，DE=2，BD=12，CD=x，则BC= 12−x ， AC+CE= BC2+AB2+CD2+DE2 =(12−x)2+9+x2+4 解：如图1所示：C是AE和BD交点时，AC+CE的值最小， 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=3，AF=BD=12， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE= AF2+EF2=122+52 =13 解：如图2所示，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=2，DB=8，连接AE交BD于点C. 设CD=x，则BC= 8−x ， ∵AE= CE +AC= x2+4+(8−x)2+16 ， ∴AE的长即为代数式 x2+4+(8−x)2+16 的最小值. 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=4，AF=BD=8. 在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE= AF2+EF2=82+62 =10 .

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