题目

如图，已知四棱锥，其中，，，，侧面底面，是上一点，且是等边三角形. （1）求证：平面；（2）当点到的距离取最大值时，求平面与平面的夹角. 答案：证明： ∵AD//BC ， AB⊥AD ， ∴AB⊥BC ， ∵ 侧面 SBC⊥ 底面 ABCD ，侧面 SBC∩ 底面 ABCD=BC ， AB⊂ 平面 ABCD ， ∴AB⊥ 平面 SBC ， ∵CE⊂ 平面 SBC ， ∴CE⊥AB ，如下图所示，取 BC 的中点 F ，连接 DF 、 EF ， ∵BC=2AD ，且 F 为 BC 的中点，则 AD=BF ， ∵BC//AD ，则 AD//BF ，所以，四边形 ABFD 为平行四边形，则 DF//AB ， ∴DF⊥ 平面 SBC ， ∵EF 、 BC⊂ 平面 SBC ， ∴DF⊥EF ， DF⊥BC ， ∵△ECD 为等边三角形，则 EF=DE2−DF2=CD2−DF2=CF=BF ，所以， ∠FBE=∠BEF ， ∠FCE=∠CEF ，由 ∠FBE+∠BEF+∠FCE+∠CEF=2∠BEC=π ， ∴∠BEC=π2 ，即 CE⊥SB ， ∵SB∩AB=B ，因此， CE⊥ 平面 SAB ；解： ∵AB⊥AD ，由（1）可知，四边形 ABFD 为矩形，且 DF⊥BC ， ∵∠BCD=45∘ ，所以， △CDF 是以 ∠CFD 为直角的等腰直角三角形，可得 AB=DF=CF=1 ，以点 B 为坐标原点， BC 、 BA 所在直线分别为 x 、 y 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 A(0,1,0) 、 B(0,0,0) 、 C(2,0,0) 、 D(1,1,0) ，设点 A 到直线 SC 的距离为 d ，则 d=AC⋅sin∠ACS ，当且仅当 ∠ACS=π2 时， d 取最大值，此时 SC⊥AC ， ∵AB⊥ 平面 SBC ， SC⊂ 平面 SBC ， ∴SC⊥AB ， ∵AB∩AC=A ， ∴SC⊥ 平面 ABCD ，设点 S(2,0,a)(a>0) ，设点 E(2k,0,ka) ，则 CE→=(2k−2,0,ka) ， BS→=(2,0,a) ，由 CE⊥SB ，可得 CE→⋅BS→=4k−4+ka2=0 ，① 由 |CE→|=|CD→| 可得 4(k−1)2+k2a2=2 ，② 所以， {4(k−1)+ka2=04(k−1)2+k2a2=2 ，解得 k=12 ， a=2 ，即点 S(2,0,2) ，设平面 SAB 的法向量为 m→=(x1,y1,z1) ， BA→=(0,1,0) ， BS→=(2,0,2) ，由 {m⇀⋅BA⇀=0m⇀⋅BS⇀=0 ，可得 {y1=02x1+2z1=0 ，取 x1=1 ，则 y1=0 ， z1=−1 ，则 m→=(1,0,−1) ，设平面 SCD 的法向量为 n→=(x2,y2,z2) ， CD→=(−1,1,0) ， CS→=(0,0,2) ，由 {n⇀⋅CD⇀=0n⇀⋅CS⇀=0 ，可得 {−x2+y2=02z2=0 ，取 x2=1 ，则 y2=1 ， z2=0 ，则 n→=(1,1,0) ， cos<m→,n→>=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=12×2=12 ，因此，平面 SAB 与平面 SCD 所成的夹角为 π3 .

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