题目

如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点 ． 直线l为抛物线的对称轴，且直线l交x轴于点D，抛物线的顶点为P． （1） 求该抛物线的函数表达式； （2） 连接BP，在直线l上是否存在点Q，使得△ODQ与△BDP相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 答案： 解：将点A（1，0）、C（0，−92 ）代入解析式，可得：{0=32+b+c−92=c 解得：{b=3c=−92 ∴抛物线的函数表达式为y=32x2+3x−92 ． 解：存在，理由如下：由（1）可知y=32x2+3x−92令32x2+3x−92=0，解得：x1=1，x2=−3 ∴点B坐标为（-3，0）∵y=32x2+3x−92=32(x+1)2−6∴对称轴为x=-1，点P坐标为（-1，-6），点D坐标为（-1，0）设点Q坐标为（-1，y）则QD=|y| 当△BDP∽△ODQ时，BDOD=DPDQ 即21=6|y| 解得：|y|=3 ∴y=3或y=−3 ∴点Q坐标为（-1，3）或（-1，-3）当△BDP∽△QDO时，BDQD=DPOD即2|y|=61 ∴|y|=13 ∴y=13或y=−13 ∴点Q坐标为（-1，13 ）或（-1，−13）综上所述：存在点Q（-1，3）、（-1，-3）、（-1，13 ）或（-1，−13），使得△ODQ与△BDP相似．

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