题目

如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（， 0）、B（， 0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中，是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案：解：由x2+3x﹣4＝0得x1＝﹣4，x2＝1，∴A（﹣4，0），B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，∵AC⊥BC，∴∠ACO＝90°﹣∠BCO＝∠OBC，∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴OAOC=OCOB，即4OC=OC1，∴OC＝2，∴C（0，﹣2），设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），将C（0，﹣2）代入得﹣2＝﹣4a，∴a=12，∴抛物线解析式为y=12（x+4）（x﹣1）=12x2+32x﹣2；解：如图：由A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）得：AB＝5，BC=5，AC＝25，∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴△ABC∽△DBE，∴BDAB=DEAC=BEBC，设D（t，0），则BD＝1﹣t，∴1−t5=DE25=BE5，∴DE=255（1﹣t），BE=55（1﹣t），∴S△BDE=12DE•BE=15（1﹣t）2，而S△BDC=12BD•OC=12（1﹣t）×2＝1﹣t，∴S△CDE＝S△BDC﹣S△BDE＝1﹣t−15（1﹣t）2=−15t2−35t+45=−15（t+32）2+54，∵−15<0，∴t=−32时，S△CDE最大为54，此时D（−32，0）；解：存在，由y=12x2+32x﹣2知抛物线对称轴为直线x=−32，而D（−32，0），∴D在对称轴上，由（2）得DE=255×[1﹣（−32）]=5，当DE＝DP时，如图：∴DP=5，∴P（−32，5）或（−32，−5），当DE＝PE时，过E作EH⊥x轴于H，如图：∵∠HDE＝∠EDB，∠DHE＝∠BED＝90°，∴△DHE∽△DEB，∴DEBD=HEBE=DHDE，即552=HE52=DH5，∴HE＝1，DH＝2，∴E（12，﹣1），∵E在DP的垂直平分线上，∴P（−32，﹣2），当PD＝PE时，如图：设P（−32，m），则m2＝（−32−12）2+（m+1）2，解得m=−52，∴P（−32，−52），综上所述，P的坐标为（−32，5）或（−32，−5）或（−32，﹣2）或（−32，−52）．

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