题目

已知椭圆C ： 与圆 相交于M，N，P，Q四点，四边形MNPQ为正方形，△PF1F2的周长为 （1） 求椭圆C的方程； （2） 设直线l与椭圆C相交于A、B两点 若直线AD与直线BD的斜率之积为 ，证明：直线恒过定点. 答案： 解：如图所示， 设点 N(x0,y0) ， 由题意四边形MNPQ为正方形，所以 x0=y0 ，即 N(x0,x0) ， 因为点 N(x0,x0) 在圆 x2+y2=43b2 上，所以 x02+x02=43b2 ， 即 x02=23b2 ，又点 N(x0,x0) 在椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上， 所以 x02a2+x02b2=1 ，即 2b23a2+23=1 ， 所以 b2a2=12 ①， 又△PF1F2的周长为 2(2+1) ， 即 2a+2c=2(2+1) ②， 由①②解得 a2=2 ， b2=1 ， 所以椭圆 C 的方程为： x22+y2=1 . 解：①当直线 l 斜率不存在时，设 l ： x=m ， A(m,yA) ， B(m,−yA) ， 因为点 A(m,yA) 在椭圆 x22+y2=1 上， 所以 m22+yA2=1 ，即 yA2=1−m22 ， 所以 kAD⋅kBD=yA+1m⋅−yA+1m=1−yA2m2 =m22m2=12≠16 不满足题意. ②当直线 l 斜率存在时，设 l ： y=kx+b(b≠−1) ， A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，联立 {y=kx+bx2+2y2−2=0 ， 整理得 (1+2k2)x2+4kbx+2b2−2=0 ， 所以 x1+x2=−4kb1+2k2 ， x1⋅x2=2b2−21+2k2 ， 则 kAD⋅kBD=y1+1x1⋅y2+1x2 =(kx1+b)(kx2+b)+[k(x2+x1)+2b]+1x1x2 =k2x1x2+(kb+k)(x1+x2)+b2+2b+1x1x2 ， 将 x1+x2=−4kb1+2k2 ， x1⋅x2=2b2−21+2k2 代入上式化简得： kAD⋅kBD=y1+1x1⋅y2+1x2 =(b+1)22(b+1)(b−1)=16 . 即 b+1b−1=13 ，解得， b=−2 ， 所以直线 l 恒过定点 (0,−2) .

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