题目

如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．问：当点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？  答案：解：设∠AOB=α，在△AOB中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2﹣2×OA×OBcos∠AOB=12+22﹣2×1×2×cosα=5﹣4cosα，．于是，四边形OACB的面积为S=S△AOB+S△ABC= 12OA•OBsinα+34AB2=12×2×1×sinα+34（5﹣4cosα）=sinα﹣3cosα+534=2sin（x﹣π3）+534．因为0＜α＜π，所以当α﹣π3=π2，α=5π6，即∠AOB=5π6时，四边形OACB面积最大．

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