题目

质量为M的滑块由水平轨道和竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道组成，放在光滑的水平面上．质量为m的物块从圆弧轨道的最高点由静止开始滑下，以速度v从滑块的水平轨道的左端滑出，如图所示．已知M：m=3：1，物块与水平轨道之间的动摩擦因数为µ，圆弧轨道的半径为R． （1） 求物块从轨道左端滑出时，滑块M的速度的大小和方向； （2） 求水平轨道的长度； （3） 若滑块静止在水平面上，物块从左端冲上滑块，要使物块m不会越过滑块，求物块冲上滑块的初速度应满足的条件． 答案： 解：对于滑块M和物块m组成的系统，物块沿轨道滑下的过程中水平方向动量守恒，物块滑出时有：  mv=MV滑块M的速度： V=mMv=13v ，方向向右．故物块从轨道左端滑出时，滑块M的速度的大小为 13v ，方向水平向右 解：物块滑下的过程中，物块的重力势能转化为系统的动能和内能，有：   12mv2+12MV2+μmgL=mgR解得： L=3gR−2v23μg故水平轨道的长度为： L=3gR−2v23μg 解：物块以速度v0冲上轨道，初速度越大，冲上圆弧轨道的高度越大．若物块刚能达到最高点，两者有相同的速度V1，此为物块不会越过滑块的最大初速度．对于M和m组成的系统，水平方向动量守恒，有：  mv0=（m+M）V1相互作用过程中，系统的总动能减小，转化为内能和重力势能，有：   12mv02−12(M+m)V12=μmgL+mgR解得： v0=433gR−v2要使物块m不会越过滑块，其初速度： v0≤433gR−v2 ．故若滑块静止在水平面上，物块从左端冲上滑块，要使物块m不会越过滑块，求物块冲上滑块的初速度应满足的条件为： v0≤433gR−v2

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