题目

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2A+ =2cosA． （1） 求角A的大小； （2） 若a=1，求△ABC的周长l的取值范围． 答案： 解：cos2A+ 32 =2cosA，即2cos2A﹣1+ 32 =2cosA，即有4cos2A﹣4cosA+1=0，（2cosA﹣1）2=0，即cosA= 12 ，（0＜A＜π），则A= π3 解：由正弦定理可得b= asinBsinA = sinB32 = 23 sinB，c= asinCsinA = 23 sinC，则l=a+b+c=1+ 23 （sinB+sinC），由A= π3 ，B+C= 2π3 ，则sinB+sinC=sinB+sin（ 2π3 ﹣B）= 32 sinB+ 32 cosB= 3 sin（B+ π6 ），即有l=1+2sin（B+ π6 ），由于0＜B＜ 2π3 ，则 π6 ＜B+ π6 ＜ 5π6 ， 12< sin（B+ π6 ）≤1，即有2＜l≤3．则有△ABC的周长l的取值范围为（2，3]

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