题目

如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t,则另一个根为2t,因此ax2+bx+c=a(x−t)(x−2t)=ax2−3atx+2t2a,可得 ; 即当 时,方程ax2+bx+c=0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题： （1） 方程①x2−x−2=0;方程②x2−6x+8=0这两个方程中,是倍根方程的是(填序号即可)； （2） 若(x−2)(mx+n)=0是倍根方程,求4m2+5mn+n2的值； （3） 关于x的一元二次方程 (m⩾0)是倍根方程,且点A(m,n)在一次函数y=3x−8的图象上，求此倍根方程的表达式                                答案： 【1】② 解：∵ (x−2)(mx+n)=0 ∴mx2+(n-2m)x-2n=0, ∵(x−2)(mx+n)=0是倍根方程,  ∴K=（n-2m）2-92m（-2n）=0, ∴ 4m2+5mn+n2 =0. 解：∵ x2-mx+23n=0 (m⩾0)是倍根方程, ∴K=（-m）2-92×23n=0, 整理得：m=3n, ∵( m,n)在一次函数y=3x−8的图象上， ∴n=3m-8, ∴n=1，m=3, ∴ 此倍根方程的表达式为x2-3 x+23=0.

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