题目

如图，过点 作直线l交抛物线C： 于A，B两点（点A在P，B之间），设点A，B的纵坐标分别为 ， ，过点A作x轴的垂线交直线 于点D. （1） 求证： ； （2） 求 的面积S的最大值. 答案： 解：由题意，设直线 l 的方程为 y=kx+12 ， 联立方程组 {y=kx+12y2=x ，可得 ky2−y+12=0 ， 所以 {y1+y2=1ky1y2=12kΔ=1−2k>0 ，则所以 1y1+1y2=y1+y2y1y2=2 ． 解：由（1）可得 Δ=1−2k>0 ，解得 k<12 ， 因为点 A(y12,y1) 在P，B之间，所以 y1=1−1−2k2k=11+1−2k ， 所以 y1∈(0,1) ， 由已知可设点 D(y12,yD) ，由点D在直线 OB ： y=1y2x 上可得 yD=y12y2 ， 所以 ΔOAD 的面积 S=12×y12×(y1−y12y2) ， 因为 1y2=2−1y1 ，所以 S=12×y12×(y1−y12(2−1y1))=y13−y14 ， 因为 S′=y12(3−4y1) ， 可得 0<y1<34 时， S′>0 ，函数 S 单调递增，当 34<y1<1 时， S′<0 ，函数 S 单调递减， 所以当 y1=34 ，即 k=49 时， ΔOAD 的面积S的最大值 27256 .

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